Técnicas de Demonstração

Um teorema é uma proposição do tipo: "Se p, então q", a qual prova-se ser verdadeira sempre (tautologia), ou seja, que: "p implica q".
As proposições 'p' e 'q' são denominadas hipótese e tese, respectivamente. É usual denominar corolário um teorema que é uma consequência quase direta de um outro já demonstrado (ou seja, cuja prova é trivial ou imediata). Adicionalmente, um teorema auxiliar que possui um resultado importante para a prova de um outro é usualmente denominado lema.
Teoremas são fundamentais em Computação e Informática e, em particular, no estudo de Matemática Discreta. Por exemplo, um teorema permite verificar se uma determinada implementação é correta. Sob este ponto de vista, um teorema pode ser visto como um algorítmo que, prova-se, sempre funciona.
Antes de iniciar uma demonstração, é fundamental identificar claramente a hipótese e a tese. Por exemplo, considere o seguinte teorema:
0 é o único elemento neutro da adição no conjunto dos números naturais.
Uma reescrita, identificando claramente a hipótese e a tese, é como segue:
se 0 é elemento neutro da adição no conjunto dos números naturais, então 0 é o único elemento neutro da adição no conjunto dos números naturais.
É importante observar que, na demonstração de que, de fato, p implica q, a hipótese é suposta verdadeira. Consequêntemente, a hipótese não deve ser demonstrada. De fato, todas as teorias possuem um conjunto de premissas (hipóteses) que são supostas verdadeiras e sobre as quais todo o raciocínio é construído. A teoria dos conjuntos é baseada em uma premissa que é a noção de elemento, a qual é simplesmente suposta. A própria computação e informática é construída sobre uma importante premissa, conhecida como Hipótese de Church.